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앞 글에서 bra 와 ket 이 만나는 두 가지 방식이 있다고 짚었습니다. 순서가 bra-ket 이면 1×1 scalar, 순서가 ket-bra 이면 n×n 행렬이 됩니다. 같은 네 글자가 순서만 바뀌어도 결과의 차원이 완전히 달라진다는 점을 떠올려 두면 좋습니다.

$\langle a | b \rangle \to$ scalar (inner product)

$|a\rangle \langle b | \to$ matrix (outer product)

이번 노트에서는 두 번째 형태인 outer product 를 정리합니다. 그리고 이 단순한 building block 이 어떻게 모든 행렬을 표현하고, 앞 글의 deterministic operation 행렬을 한 줄 식으로 적을 수 있게 해주는지를 봅니다.

Column × Row = Matrix

먼저 차원 셈만 다시 짚어봅시다. column vector ( $n \times 1$ ) 와 row vector ( $1 \times n$ ) 를 곱하면 $n \times n$ 행렬이 나오고, $(i, j)$ entry 는 두 vector 의 entry 곱입니다.

\begin{pmatrix} a_1 \\\\ a_2 \\\\ \vdots \\\\ a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\\\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\\ a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_n \end{pmatrix}

inner product 에서는 같은 자리의 entry 만 곱해서 더했지만, outer product 는 모든 자리 조합의 곱을 행렬로 펼쳐 놓습니다.

|a⟩⟨b| 는 (a, b) 자리에 1 표시기

이 일반 공식을 standard basis 에 적용하면 결과가 매우 단순해집니다. $|a\rangle$ 는 $a$ 자리만 $1$ , $\langle b |$ 는 $b$ 자리만 $1$ 이라서 두 항이 모두 $1$ 인 자리는 $(i, j) = (a, b)$ 한 곳뿐. 나머지는 $0$ 이 됩니다.

\bigl(|a\rangle \langle b |\bigr)_{i, j} = \begin{cases} 1 & \text{if } (i, j) = (a, b) \\\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

$|a\rangle \langle b |$ 는 $(a, b)$ 자리에만 $1$ 이 있는 행렬.

이게 글 전체의 핵심 슬로건이고, 외워둘 만한 한 줄입니다.

Σ = {0, 1} 의 4가지 outer product

$\Sigma = \{0, 1\}$ 위에서는 $a$ 와 $b$ 가 각각 $0, 1$ 이라 outer product 가 4가지 나옵니다. 4개의 행렬은 각각 한 자리에만 $1$ 이 있는 모양이 됩니다.

|0\rangle \langle 0 | = \begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad |0\rangle \langle 1 | = \begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}

|1\rangle \langle 0 | = \begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad |1\rangle \langle 1 | = \begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

outer product	1이 있는 자리
$\lvert 0 \rangle \langle 0 \rvert$	$(0, 0)$
$\lvert 0 \rangle \langle 1 \rvert$	$(0, 1)$
$\lvert 1 \rangle \langle 0 \rvert$	$(1, 0)$
$\lvert 1 \rangle \langle 1 \rvert$	$(1, 1)$

이 네 개의 행렬이 $2 \times 2$ 행렬 공간 전체를 펼치는 기저 역할을 합니다. standard basis vector $|0\rangle, |1\rangle$ 가 vector 공간을 펼쳤듯이, $\{|a\rangle \langle b |\}_{a, b}$ 가 행렬 공간을 펼치는 행렬용 standard basis 입니다.

모든 행렬은 outer product 의 합

행렬용 standard basis 가 있다는 말은, 임의 행렬을 이 building block 들의 linear combination 으로 적을 수 있다는 뜻입니다. 예시로 다음 행렬을 분해해 봅시다.

A = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\\\ 7 & 9 \end{pmatrix}

각 entry 의 위치를 그대로 outer product 자리에 매핑하면:

A = 3 \, |0\rangle \langle 0 | + 5 \, |0\rangle \langle 1 | + 7 \, |1\rangle \langle 0 | + 9 \, |1\rangle \langle 1 |

일반화하면 임의 행렬은 다음과 같이 적힙니다.

A = \sum_{i, j} A_{i, j} \, |i\rangle \langle j |

Deterministic operation 을 한 줄 식으로

앞 글의 deterministic operation 행렬도 outer product 의 합으로 정확히 한 줄에 떨어집니다.

M = \sum_{b \in \Sigma} |f(b)\rangle \langle b |

이 식의 의미는 단순합니다. 각 입력 $b$ 에 대해, $|b\rangle$ 자리 (즉 $b$ 번째 column) 에 $|f(b)\rangle$ 를 넣어라. 4가지 bit 함수의 행렬을 한 줄씩 적어 보면 다음과 같습니다.

함수	$f(b)$	outer product 합	결과 행렬
$f_1$ (constant 0)	$0, 0$	$\lvert 0 \rangle \langle 0 \rvert + \lvert 0 \rangle \langle 1 \rvert$	$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
$f_2$ (identity)	$0, 1$	$\lvert 0 \rangle \langle 0 \rvert + \lvert 1 \rangle \langle 1 \rvert$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
$f_3$ (NOT)	$1, 0$	$\lvert 1 \rangle \langle 0 \rvert + \lvert 0 \rangle \langle 1 \rvert$	$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
$f_4$ (constant 1)	$1, 1$	$\lvert 1 \rangle \langle 0 \rvert + \lvert 1 \rangle \langle 1 \rvert$	$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

흥미로운 한 가지. identity 행렬은 모든 $a$ 에 대한 $|a\rangle \langle a |$ 의 합입니다.

I = \sum_{a \in \Sigma} |a\rangle \langle a |

뒤에서 resolution of identity 라는 이름으로 또 등장할 식이고, 측정 확률을 분해할 때 핵심 도구입니다.

(|a⟩⟨b|)-|c⟩ - 한 줄로 줄이기

outer product 가 ket 에 작용하면 어떻게 되는지 봅시다. 행렬 곱의 결합 법칙을 쓰면 한 줄에 정리됩니다.

\bigl(|a\rangle \langle b |\bigr) |c\rangle = |a\rangle \bigl(\langle b | c \rangle\bigr) = |a\rangle \cdot \delta_{b, c} = \begin{cases} |a\rangle & \text{if } b = c \\\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

행렬 그리지 말고 bra 와 ket 이 만나면 그 자리에서 scalar (Kronecker delta) 로 줄여 버리는 게 Dirac 표기의 진짜 강점입니다. 계산이 순식간에 짧아집니다.

짚어둘 것

세 가지만 따로 정리합니다.

순서 한 번 더. $\langle a | b \rangle$ 는 scalar, $|a\rangle \langle b |$ 는 행렬. 같은 글자라도 어느 쪽이 앞에 오느냐가 결과 차원을 결정합니다.
$|a\rangle \langle a |$ 는 vector 가 아니라 대각선의 한 자리에만 $1$ 이 있는 projector 행렬입니다. $|a\rangle$ 자체와 모양이 다릅니다.
$|a\rangle \langle b |$ 와 $|b\rangle \langle a |$ 는 서로 다른 자리에 $1$ 이 있는 행렬입니다. 둘은 transpose 관계.

다음으로

지금까지 벡터에 작용하는 행렬이라는 framework 안에서 deterministic operation 까지 다 적었습니다. 다음 글에서는 이 행렬의 entry 가 $0/1$ 만이 아니라 임의의 확률을 가지는 일반화로 넘어갑니다 (probabilistic operation, 즉 stochastic matrix).

또 한 가지 흥미로운 갈래. 위에서 슬쩍 등장한 $|a\rangle \langle a |$ 는 사실 projector 라 불리고, 더 나아가 quantum state 의 또 다른 표기인 density matrix $|\psi\rangle \langle \psi |$ 의 기본 단위가 됩니다. 이 부분은 단원이 단단해지면 별도 노트로 따로 다룰 예정입니다.

Quantum(5) - Outer Product 와 행렬의 분해