Aiden Kwak Pages

지난 여섯 편의 글에 걸쳐 우리는 어떤 framework 를 차근차근 깔아왔습니다.

Quantum(1) 에서 probability vector 로 시스템의 상태를 적기 시작했고,
Quantum(2) 에서 첫 unitary 인 Hadamard 를 손으로 풀어보며 행렬이 vector 를 변환한다 는 감각을 익혔으며,
Quantum(3) 에서 함수 = 행렬 곱 이라는 deterministic operation 의 핵심 골격을 다졌고,
Quantum(4), (5) 에서 Dirac bra, ket 과 inner / outer product 로 표기 도구를 정비했으며,
Quantum(6) 에서 무작위성을 그 framework 에 끼워 넣어 stochastic matrix 까지 도달했습니다.

여기까지 다룬 모든 게 classical 이었습니다. 우리가 지금까지 다진 도구들은 quantum 을 위한 자리를 미리 비워두고 있습니다. ket 표기, standard basis, linear combination, 행렬 곱이 곧 변환이라는 사고, 그리고 normalization 조건. 이 모두가 quantum 에서 그대로 재사용 됩니다.

다른 건 단 두 가지뿐입니다.

entry 가 실수 확률 에서 복소수 amplitude 로 풀려납니다.
normalization 이 entry 합 이 아니라 제곱 절대값 합 이 됩니다.

이 두 자리만 바꾸면 quantum 이고, 표기, 연산 골격은 통째로 빌려옵니다. 지난 여섯 편의 학습이 바로 이 한 도약을 위한 사전 준비 였다고 봐도 무방합니다.

오늘은 그 도약을 합니다. 새 vector 의 이름은 quantum state vector, 새 norm 의 이름은 Euclidean norm (또는 $L^2$ ). 지금부터의 모든 글은 이 두 변경 위에서 펼쳐집니다.

미리보기

	Probability vector	Quantum state vector
Entry	$p(a) \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ (실수, 음이 아님)	$\alpha(a) \in \mathbb{C}$ (복소수, 자유)
Normalization	$\sum_a p(a) = 1$	$\sum_a \lvert \alpha(a) \rvert^{2} = 1$
Norm 종류	$L^1$	$L^2$ (Euclidean)

이 표가 글 전체의 압축 요약입니다. 본문은 이 두 변경이 정확히 무엇이고, 왜 그런 변경이 필요한지를 차례로 풀어갑니다.

Quantum State Vector 의 정의

system $X$ (classical state set $\Sigma$ ) 의 quantum state 는 다음 두 조건을 만족하는 column vector 입니다.

|\psi\rangle = \sum_{a \in \Sigma} \alpha(a) \, |a\rangle, \qquad \alpha(a) \in \mathbb{C}, \qquad \sum_a \lvert \alpha(a) \rvert^{2} = 1

각 entry $\alpha(a)$ 를 amplitude 라 부릅니다. amplitude 는 probability 가 아닙니다. 측정 시 결과가 $a$ 일 확률은 amplitude 의 제곱 절대값 $\lvert \alpha(a) \rvert^{2}$ 입니다. 이 한 줄 변환을 빠뜨리면 모든 측정 계산이 어긋납니다.

Euclidean Norm

normalization 조건의 좌변은 Euclidean norm 의 제곱 입니다.

\| v \| = \sqrt{\sum_i \lvert \alpha_i \rvert^{2}}

quantum state $|\psi\rangle$ 는 항상 $\| |\psi\rangle \| = 1$ . 즉 unit complex vector 입니다.

복소수 $\alpha = a + bi$ 의 절대값은 $\lvert \alpha \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}$ . 제곱하면 $\lvert \alpha \rvert^{2} = a^2 + b^2$ . 단순한 $\alpha^2$ 와 다른 점에 주의해야 합니다. $\alpha^2$ 는 또 다른 복소수일 수 있고, $\lvert \alpha \rvert^{2}$ 는 항상 음 아닌 실수입니다.

예시

Qubit 의 대표 state 들

가장 흔히 등장하는 single-qubit state 들입니다.

state	column form	$\sum \lvert \alpha \rvert^{2}$
$\lvert 0 \rangle$	$\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \end{pmatrix}$	$1 + 0 = 1$
$\lvert 1 \rangle$	$\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \end{pmatrix}$	$0 + 1 = 1$
$\lvert + \rangle$	$\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\\\ 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$	$1/2 + 1/2 = 1$
$\lvert - \rangle$	$\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\\\ -1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$	$1/2 + 1/2 = 1$

음수 entry 가 등장한 $|-\rangle$ 도 valid 합니다. classical probability vector 였다면 음수가 허용되지 않지만, quantum 에서는 amplitude 라 음수, 복소수 모두 자유. 이게 interference 를 만들어내는 핵심 자유도입니다.

복소 entry 가 들어간 state

|\psi\rangle = \frac{1 + 2i}{3} |0\rangle + \left(-\frac{2}{3}\right) |1\rangle

검증:

\left\lvert \frac{1 + 2i}{3} \right\rvert^{2} + \left\lvert -\frac{2}{3} \right\rvert^{2} = \frac{1^2 + 2^2}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1

복소 amplitude 는 부호와 함께 위상 (phase) 까지 자유롭게 가질 수 있다는 점이 classical probability 와의 본질적 차이입니다. 같은 amplitude $\lvert \alpha \rvert$ 라도 위상이 다르면 다른 state 입니다.

또 다른 valid 예시

|\psi\rangle = \tfrac{3}{5} |0\rangle + \tfrac{4i}{5} |1\rangle

검증:

\left\lvert \tfrac{3}{5} \right\rvert^{2} + \left\lvert \tfrac{4i}{5} \rvert^{2} \right. = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1

$|4i/5|^2 = (4/5)^2 = 16/25$ 임에 주의. 허수 단위 $i$ 의 제곱 절대값은 $1$ 이라서, $|c i|^2 = c^2$ 그대로입니다.

4-state quantum state

$\Sigma = \{0, 1, 2, 3\}$ 위의 quantum state 도 같은 규칙으로 만들 수 있습니다.

|\psi\rangle = \tfrac{1}{2} |0\rangle - \tfrac{i}{2} |1\rangle + 0 \cdot |2\rangle + \tfrac{1}{\sqrt{2}} |3\rangle

검증:

\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4} + 0 + \tfrac{1}{2} = 1

valid. entry $0$ 도 허용됨에 주목합니다. 해당 자리의 amplitude 가 $0$ 이라는 뜻이고, 측정 시 그 결과는 절대 나오지 않습니다.

Probability vs Quantum 한 표

	Probability vector	Quantum state vector
Entry	$p(a) \in \mathbb{R}_{\geq 0}$	$\alpha(a) \in \mathbb{C}$
Normalization	$\sum_a p(a) = 1$	$\sum_a \lvert \alpha(a) \rvert^{2} = 1$
Norm	$L^1$	$L^2$
허용 변환	stochastic matrix	unitary matrix (다음 글)
측정 결과 확률	entry 자체	$\lvert \alpha \rvert^{2}$ 로 변환
Interference	불가 (entry $\geq 0$ )	가능 (음, 복소 amplitude)

이 한 장에 Lesson 1 의 절반이 응축되어 있습니다.

짚어둘 것

자주 마주치는 함정 셋을 정리합니다.

Entry 합 $= 1$ 이 아니라 제곱 절대값 합 $= 1$ 입니다. 예를 들어 $|+\rangle$ 의 entry 합은 $1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2} = \sqrt{2} \neq 1$ 이지만 제곱 절대값 합은 $1/2 + 1/2 = 1$ 로 valid. 또 한 가지: $\tfrac{1}{2} |0\rangle + \tfrac{1}{2} |1\rangle$ 은 entry 합이 $1$ 인데도 quantum state 가 아닙니다. 제곱 절대값 합이 $1/4 + 1/4 = 1/2$ 로 정규화 조건이 깨지기 때문입니다.
복소수 amplitude $\alpha$ 에 대해 $\alpha^2$ 와 $\lvert \alpha \rvert^{2}$ 는 다릅니다. 예: $\alpha = 1 + i$ 면 $\alpha^2 = 2i$ (또 다른 복소수), $\lvert \alpha \rvert^{2} = 2$ (양 실수). quantum 에서는 항상 후자 를 사용합니다.
entry 자체가 결과의 확률이 아닙니다. entry 는 amplitude. 확률은 $\lvert \alpha \rvert^{2}$ 로 한 단계 변환을 거쳐 얻습니다.

다음으로

quantum state 가 정착됐으니 다음 글의 주제는 자연스럽게 결정됩니다. quantum operation 은 어떤 행렬인가. probabilistic 의 stochastic matrix 자리에 quantum 에서는 unitary matrix 가 들어갑니다. 조건은 $U^{\dagger} U = I$ 한 줄이고, 이 한 줄이 norm 을 보존하는 모든 변환 을 정확히 잡아냅니다.

Quantum(7) - Quantum State Vector