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Quantum(1) - Single Systems

2026-04-26 · quantumsingle-systemsstudyIBM

IBM 의 John Watrous 가 쓴 Understanding Quantum Information and Computation 의 Lesson 1, 첫 다섯 슬라이드를 정리한 기록입니다. 다룬 범위는 Cover 부터 Descriptions of quantum information, Classical information, 그리고 Dirac notation 의 앞부분까지.

요약하자면 이번 노트의 결론은 한 줄로 다음과 같습니다.

classical 확률 상태는 vector 로 표현되지만, quantum 상태와는 근본적으로 다르다. 그 차이를 만들어내는 것이 amplitude 의 부호, 복소 자유도와 ∣α∣2|\alpha|^2 정규화 조건이다.

본격적으로 들어가기 전에 한 가지만 짚고 갑니다. 이번 unit 은 quantum state 를 unit complex vector 로, operation 을 unitary matrix 로 다루는 simplified description 입니다. 더 일반적인 density matrix 표기는 다음 unit 의 주제입니다.

Classical information 과 probability vector

system XX 가 유한한 classical state 의 집합 Σ\Sigma 중 하나의 상태에 있다고 합시다. 어떤 state 에 있는지에 대해 불확실성이 있을 때, 각 state 에 probability 를 부여해 표현합니다. 이걸 column vector 로 모은 것이 probability vector 입니다.

probability vector 의 조건은 두 가지뿐입니다.

  • 모든 entry 가 ≥0\geq 0
  • entry 의 합이 11

두 번째 조건이 합 =1=1 이라는 점은, 뒤에서 quantum 의 ∑∣α∣2=1\sum |\alpha|^2 = 1 과 비교할 때 결정적인 차이로 작용합니다. 미리 마음에 담아두면 좋습니다.

Dirac notation

quantum 표기법의 출발점인 Dirac ket ∣a⟩|a\rangle 는 단순합니다. a∈Σa \in \Sigma 에 대응하는, 해당 위치만 1 이고 나머지는 0 인 standard basis column vector. 그래서 임의의 probability vector 는 항상 다음 형태로 쓸 수 있습니다.

v=∑a∈Σp(a) ∣a⟩v = \sum_{a \in \Sigma} p(a) \, |a\rangle

이 구조는 다음 unit 에서 quantum state 를 다룰 때 그대로 재사용됩니다.

∣ψ⟩=∑a∈Σαa ∣a⟩|\psi\rangle = \sum_{a \in \Sigma} \alpha_a \, |a\rangle

차이는 단지 두 가지뿐입니다. weight 의 종류 (real →\to complex), 그리고 정규화 조건 (∑p(a)=1→∑∣αa∣2=1\sum p(a) = 1 \to \sum |\alpha_a|^2 = 1). 표기 구조가 같다는 점이 오히려 헷갈림의 원인이 되기도 합니다.

예제: probability vector 만들어 보기

Σ={0,1,2}\Sigma = \{0, 1, 2\} 이고 Pr⁡(X=0)=12\Pr(X{=}0) = \tfrac{1}{2}, Pr⁡(X=1)=13\Pr(X{=}1) = \tfrac{1}{3}, Pr⁡(X=2)=16\Pr(X{=}2) = \tfrac{1}{6} 일 때.

Dirac notation 으로:

v=12∣0⟩+13∣1⟩+16∣2⟩v = \tfrac{1}{2} |0\rangle + \tfrac{1}{3} |1\rangle + \tfrac{1}{6} |2\rangle

standard basis 를 풀어 column vector 로 옮기면:

v=(1/21/31/6)v = \begin{pmatrix} 1/2 \\\\ 1/3 \\\\ 1/6 \end{pmatrix}

조건 확인: 모든 entry ≥0\geq 0, 합 =12+13+16=1= \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{6} = 1. probability vector 입니다.

Probability vector 와 quantum state vector 의 차이

여기서부터가 이번 노트의 핵심입니다. "classical probabilistic state 도 vector 로 표현되니 quantum state 와 본질적으로 같지 않냐" 는 직관에 답을 해야 합니다.

구분Probability vectorQuantum state vector
Entry 의 의미그 state 에 있을 probability (real, 00 이상)amplitude α∈C\alpha \in \mathbb{C} (측정 시 그 결과로 collapse 될 진폭)
부호, 위상non-negative 만 가능negative, 복소수 자유
정규화∑α=1\sum \alpha = 1∑∣α∣2=1\sum \lvert \alpha \rvert^{2} = 1
측정 결과 확률entry 자체가 확률∣α∣2\lvert \alpha \rvert^{2} 로 변환해야 확률

가장 중요한 차이는 결국 한 가지로 귀결됩니다. amplitude 가 negative 또는 복소수일 수 있다는 사실이 interference (간섭) 를 가능하게 합니다. classical probability 는 entry 가 항상 ≥0\geq 0 이라 더하면 무조건 커지기만 합니다. 상쇄(cancellation) 자체가 일어날 수 없습니다.

같은 측정 결과, 다른 quantum state

다음 두 quantum state 를 비교해 봅시다.

∣+⟩=12∣0⟩+12∣1⟩|+\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle + \tfrac{1}{\sqrt{2}} |1\rangle ∣−⟩=12∣0⟩−12∣1⟩|-\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle - \tfrac{1}{\sqrt{2}} |1\rangle

standard basis 로 측정하면 둘 다 Pr⁡(0)=∣1/2∣2=1/2\Pr(0) = |1/\sqrt{2}|^2 = 1/2, Pr⁡(1)=1/2\Pr(1) = 1/2. 측정 결과만 보면 둘은 구분 불가능 합니다. classical probability vector 의 관점에서 본다면 같은 상태여야 할 것 같죠.

그런데 Hadamard HH 를 한 번 끼워 넣으면 이야기가 달라집니다.

H∣+⟩=∣0⟩,H∣−⟩=∣1⟩H |+\rangle = |0\rangle, \qquad H |-\rangle = |1\rangle

HH 를 거치고 나면 한쪽은 deterministic 0, 다른 쪽은 deterministic 1 로 완전히 갈라집니다. 부호 차이 (relative phase) 가 사라지지 않고 남아 있다가, 어떤 unitary 를 통과하느냐에 따라 한쪽은 보강 간섭으로, 다른 쪽은 상쇄 간섭으로 작동한 결과입니다.

이 한 가지 예가 quantum state space 가 단순한 부호 있는 probability vector 가 아니라는 사실의 가장 깔끔한 증거입니다.

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