Quantum(2) - Hadamard 연산 자세히 보기

앞 글의 마지막 예시에서 $|+\rangle$ 과 $|-\rangle$ 에 Hadamard $H$ 를 적용해 두 상태를 구별해내는 장면을 살짝 보여드렸습니다. 이번 노트에서는 그 $H$ 자체를 손으로 4번 계산해보면서 H 가 어떤 변환을 하는지 직관을 잡아보려 합니다.

H 가 뭔가

Hadamard $H$ 는 single-qubit (즉 $2 \times 2$) unitary matrix 입니다. 정의는 단순하니 외워두면 좋습니다.

각 entry 를 풀어 쓰면 $(1,1) = (1,2) = (2,1) = 1/\sqrt{2}$ 이고 $(2,2) = -1/\sqrt{2}$ 입니다.

Unitary 라는 것은 $H^{\dagger} H = I$ 를 만족한다는 뜻입니다. quantum operation 으로 쓸 수 있는 자격을 갖춘 행렬이라는 뜻이고, 자세한 unitary 조건은 다음 노트에서 다룰 예정입니다.

H 가 왜 필요한가

직관 한 마디로 적자면 이렇습니다.

$H$ 는 standard basis $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ 와 plus-minus basis $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ 사이를 왔다갔다 변환해주는 도구.

좀 더 풀면, quantum computing 은 superposition (중첩) 을 만들고 다시 풀어내는 게 핵심입니다. $H$ 는 그 두 작업을 하는 가장 기본 연산입니다.

• Superposition 만들기: classical state $|0\rangle$ 에서 시작해서 $H$ 를 한 번 때리면 $|+\rangle$ (반반 중첩) 이 됩니다.
• Superposition 풀기: $|+\rangle$ 같은 superposition 에 $H$ 를 다시 때리면 깨끗한 classical state 로 돌아옵니다.

$H$ 가 quantum 알고리즘에서 가장 흔하게 보이는 unitary 인 이유가 여기 있습니다. Deutsch-Jozsa, Grover, Shor 같은 대표 알고리즘이 모두 $H$ 로 시작하고 끝나는 패턴을 사용합니다.

H 의 4가지 기본 작용

Column vector 로 바꾼 뒤 행렬 곱을 직접 해 보면 $H$가 어느 정도 손에 잡힙니다.

H|0⟩

H|1⟩

H|+⟩

여기서 첫 번째 항은 부호가 같아 보강(constructive) 으로 합쳐지고, 두 번째 항은 부호가 반대라 상쇄(destructive) 됩니다. 이게 interference 가 실제로 일어나는 모습입니다.

H|−⟩

이번에는 첫 번째 항이 상쇄되고, 두 번째 항이 보강되어 살아남습니다. $|+\rangle$ 일 때와 정확히 반대 자리에서 cancellation 이 일어나는 셈입니다.

왜 1/√2 가 필요한가

$H$ 행렬 앞에 매번 등장하는 $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ 인수는 단지 모양을 위해 붙은 게 아니라, $H$ 가 unitary 가 되기 위한 정규화 인수 입니다.

unitary 조건 $H^{\dagger} H = I$ 를 column 관점으로 풀면 두 가지로 나뉩니다.

• 각 column 의 Euclidean norm 이 $1$ (unit vector)
• 서로 다른 column 끼리 inner product 가 $0$ (직교)

만약 $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ 가 빠진 naked 행렬을 가정해 봅시다.

이 행렬의 두 column 은 $(1, 1)^{T}$ 와 $(1, -1)^{T}$ 인데, 각 column 의 norm 은 $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ 입니다. unit vector 가 아닙니다. 이 상태로 $H_{\text{naked}} |0\rangle$ 을 계산하면 출력 vector 의 norm 도 $\sqrt{2}$ 가 되어 quantum state 자격 (unit vector) 을 잃습니다. 측정 확률의 합이 $1$ 이 안 된다는 뜻입니다.

여기에 $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ 를 곱해주면 column 의 norm 이 정확히

로 떨어지고, 두 column 의 내적도 $\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2} = 0$ 이 되어 직교 조건까지 자동 만족됩니다. 즉 $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ 는 vector 의 길이를 unit 으로 맞추는 줄자 이고, 이 인수가 빠지면 $H$ 는 quantum operation 의 자격 자체를 잃습니다.

quantum 에선 모든 state vector 가 unit vector 이고 모든 operation 이 그 unit-ness 를 보존해야 하기 때문에, 행렬 entry 에 $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ 같은 분수, 무리수가 자연스럽게 자주 등장합니다.

왜 H|+⟩ 의 두 번째 entry 가 0 인가

$H|+\rangle$ 계산에서 한 entry 가 정확히 $0$ 으로 떨어진 것이 우연은 아닙니다. 부호 패턴 의 결과로 풀어볼 수 있습니다.

두 번째 entry 는 $H$ 의 두 번째 row $(1, -1)$ 와 $|+\rangle$ 의 amplitude $(+1/\sqrt{2}, +1/\sqrt{2})$ 가 항별로 곱해진 합입니다.

$|+\rangle$ 자체의 두 amplitude 는 모두 양수입니다. 그런데 $H$ 의 두 번째 row 가 $(+, -)$ 부호 패턴을 갖고 있어서, 곱하는 순간 한쪽 항에 음의 부호가 붙고 합치는 순간 정확히 상쇄됩니다 (destructive interference).

첫 번째 entry 는 $H$ 의 첫 row 가 $(+, +)$ 라 부호가 같은 두 항이 만나 더해집니다 (constructive). 그래서 살아남고요.

표를 보면 $H|+\rangle$ 은 둘째 entry 가, $H|-\rangle$ 은 첫째 entry 가 0 으로 떨어지는 이유가 한눈에 보입니다. 정확히 반대 자리에서 cancellation 이 일어납니다.

핵심은 한 가지로 모입니다. amplitude 가 음수가 될 수 있다 는 사실이 cancellation 을 가능하게 합니다. classical probability 처럼 모든 항이 $\geq 0$ 이라면 두 양수의 합은 결코 $0$ 이 될 수 없고, 따라서 interference 도 영영 일어나지 않습니다.

외우기 쉬운 표

네 결과를 나란히 적으면 짝이 맞습니다.

좌우가 정확히 짝을 이루기 때문에 $H$ 를 두 번 적용하면 원래대로 돌아옵니다.

이걸 행렬식으로 쓰면 $H^2 = I$. 즉 $H$ 는 자기 자신의 역원이고, 이런 unitary 를 involution 이라 부릅니다.

직관으로 묶어두기

핵심 효과를 한 줄 슬로건으로 적어두면:

$H$ 는 computational basis $\leftrightarrow$ diagonal basis 변환기.

여기서 computational basis 는 $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ (= standard basis), diagonal basis (또는 $\pm$ basis, Hadamard basis) 는 $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ 를 말합니다.

조금 다른 시점으로도 묶어둘 수 있습니다.

• 행렬의 첫 번째 column 은 $|0\rangle$ 을 $\tfrac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ 로 분배
• 두 번째 column 은 $|1\rangle$ 을 $\tfrac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)$ 로 분배
• 즉 $H$ 는 각 입력 ket 을 두 갈래로 나눠 보내되, 한쪽엔 $+1$, 다른 쪽엔 $\pm 1$ 부호를 붙이는 변환

이 부호 차이가 나중에 cancellation, 즉 interference 를 만들 씨앗입니다. 앞 노트에서 $|+\rangle$ 과 $|-\rangle$ 가 standard basis 측정으론 구분이 안 되지만 $H$ 를 거치면 deterministic 하게 $|0\rangle$ 과 $|1\rangle$ 로 갈라졌던 이유가, 결국 이 부호가 어느 자리에서 보강되고 어느 자리에서 상쇄되느냐의 문제였습니다.