Quantum(3) - Deterministic Operations

지금까지의 두 글에서는 state 자체 를 vector 로 적는 법을 다뤘습니다. 이번 노트는 그 state 를 변환 하는 일을 어떻게 행렬로 적는지에 대한 기록입니다.

가장 단순한 변환은 함수 $f : \Sigma \to \Sigma$. 입력 classical state $a$ 가 들어오면 출력 $f(a)$ 를 deterministic 하게 내놓습니다. 무작위성 없이. 예를 들어 bit 의 NOT 은 $0 \mapsto 1$, $1 \mapsto 0$ 이고, 항등은 $0 \mapsto 0$, $1 \mapsto 1$.

이 변환을 vector 차원에서도 똑같이 다루고 싶습니다. 그래서 함수 $f$ 하나마다 행렬 $M$ 하나 를 대응시키고, 작용을 단순한 matrix-vector 곱 $v \mapsto M v$ 로 적습니다. 이 형식이 이후 모든 operation (probabilistic, unitary 포함) 에 그대로 재사용됩니다. 즉 모든 operation = 어떤 행렬 곱 이라는 framework 가 여기서 시작합니다.

어떤 행렬인가

함수 $f : \Sigma \to \Sigma$ 가 주어지면, 다음 조건을 만족하는 유일한 행렬 $M$ 이 존재합니다.

행렬 entry 공식으로 적으면

여기서 $b$ 는 row index (출력 위치), $a$ 는 column index (입력 위치) 입니다.

핵심 성질이 두 가지 있습니다.

• 각 column 에 정확히 하나의 $1$, 나머지는 $0$. 이유는 단순합니다. $a$ 번째 column 은 $M |a\rangle = |f(a)\rangle$ 그 자체이고, $|f(a)\rangle$ 가 한 자리만 $1$ 인 standard basis vector 이기 때문입니다.
• 행렬 곱이 곧 작용. $v \mapsto M v$ 가 그 operation 의 정의입니다.

probabilistic state 에 작용시켰을 때 무슨 일이 일어나는지도 짚어둘 만합니다. $v = \sum_a p(a) |a\rangle$ 면 linearity 에 의해

즉 각 classical state $a$ 가 $f(a)$ 로 보내지면서 확률은 그대로 따라갑니다. deterministic operation 을 따로 정의하지 않아도 확률 분포 위에서 자동으로 잘 동작한다는 뜻입니다.

Σ = {0, 1} 의 4가지 함수

bit 위에서 $f : \{0, 1\} \to \{0, 1\}$ 인 함수는 총 4개입니다 (입력 2가지 $\times$ 출력 2가지 $= 2^2 = 4$).

각 함수에 대응하는 행렬은 column 별로 $|f(a)\rangle$ 를 적으면 바로 나옵니다.

각 행렬에서 column 1 (즉 $a = 0$) 은 $|f(0)\rangle$, column 2 (즉 $a = 1$) 은 $|f(1)\rangle$ 입니다. 예컨대 $M_3$ 의 column 1 은 $(0, 1)^T = |1\rangle = |f_3(0)\rangle = |\mathrm{NOT}(0)\rangle$.

NOT 을 직접 적용해 보기

$M_3$ 가 정말 bit 를 뒤집는지 확인합니다.

다음으로 probabilistic state 에 적용해 봅니다. $v = \tfrac{3}{4} |0\rangle + \tfrac{1}{4} |1\rangle$ 일 때

$\Pr(0)$ 와 $\Pr(1)$ 이 정확히 swap. NOT 이 확률 분포 위에서도 직관대로 작동합니다. 별도 정의 없이 linearity 가 알아서 해주는 결과입니다.

직접 풀어 적으면 이 알아서 의 정체가 보입니다.

행렬 곱이 합과 스칼라 배에 분배되는 linearity 덕에, $M_3 |0\rangle$ 과 $M_3 |1\rangle$ 두 결과만 알면 어떤 확률 조합에 대해서도 자동으로 답이 나옵니다. classical state 위에서 $f$ 의 동작만 행렬로 정리해두면, probabilistic state 에서도 그대로 작동한다는 framework 의 이득이 여기서 분명해집니다.

짚어둘 것

세 가지만 따로 정리합니다.

• Column 에만 정확히 하나의 $1$ 이 보장됩니다. row 에는 여러 개의 $1$ (예: $M_1$ 의 첫 row $(1, 1)$) 또는 $0$ 개 (예: $M_1$ 의 둘째 row $(0, 0)$) 가 등장할 수 있습니다. 이는 $f$ 가 non-injective 일 때 (여러 입력이 같은 출력으로 보내질 때) 자연스럽게 발생합니다.
• 행렬 entry $M(b, a)$ 는 함수 값 자체가 아니라 그 자리가 $f(a)$ 와 일치하는가 라는 indicator 입니다. 값은 항상 $0$ 또는 $1$ 만 가집니다. $f(a) = 1$ 이라고 해서 $M$ 의 어떤 entry 가 $1$ 인 게 아니라, $M(1, a) = 1$ 이라는 뜻입니다.
• Identity 함수의 행렬은 모든 자리에 $1$ 이 아니라 대각선만 $1$ 인 단위행렬 $I$ 입니다. column 별로 $|f(a)\rangle = |a\rangle$ 가 들어가니 자연스럽게 그렇게 됩니다.

어떤 함수가 invertible 인가

위 4개 행렬 중 역행렬 이 존재하는 것은 $M_2$ (identity) 와 $M_3$ (NOT) 입니다. $M_1$ 과 $M_4$ 는 invertible 하지 않습니다.

이걸 직접 행렬식으로 계산할 필요는 없습니다. 함수 $f$ 의 어떤 성질 이 invertibility 를 결정하는지로 한 줄에 답이 나옵니다.

$f$ 가 bijection (= permutation of $\Sigma$) 이면, 그리고 그때만 $M$ 은 invertible.

• $f_2$ (identity), $f_3$ (NOT) 은 bijection. 입력과 출력이 일대일 대응. 두 행렬은 permutation matrix 입니다.
• $f_1, f_4$ 는 constant 함수. 두 입력 $0, 1$ 이 모두 같은 출력으로 보내져 정보가 사라집니다. 사라진 정보는 어떤 행렬 곱으로도 복원할 수 없습니다.

이 관찰은 quantum 으로 넘어갈 때 중요한 복선이 됩니다. quantum operation 은 모두 unitary 이고, unitary 는 항상 invertible 입니다 (사실 $U^{-1} = U^\dagger$). 즉 quantum 세계에서는 정보가 사라지는 변환이 허용되지 않습니다. $f_1$, $f_4$ 같은 constant operation 은 quantum 에선 단독으로 존재할 수 없습니다.

다음으로

다음 노트의 주제는 probabilistic operation 입니다. deterministic operation 의 일반화로, 행렬 entry 가 $0$ 또는 $1$ 이 아니라 임의의 확률 을 가질 수 있는 형태입니다. 미리 짚어두면 좋을 두 가지가 있습니다.

• 각 column 의 entry 는 어떤 조건을 만족할까요. 힌트는 probability vector 의 두 조건 (entry $\geq 0$, sum $= 1$) 과 같은 형식 입니다. 이런 행렬을 stochastic matrix 라 부릅니다.
• 그러면 deterministic operation 은 probabilistic operation 의 어떤 극단 case 일까요. 한 줄로 적자면 각 column 이 한 자리에 모든 확률을 몰아둔 (즉 entry 가 $0$ 또는 $1$ 만인) probabilistic operation 입니다.

이 둘을 머리에 담아두고 다음 글로 넘어갈 예정입니다.